导语：真实中，股票收益率的分布并不像我们所期望的那样是独立正态分布，而是有偏的——收益率时间序列往往存在自相关性。如果能够根据收益率的记忆性分析出它的趋势，那么便可以将此作为一个择时的依据，制定量化交易策略。那么，如何刻画这一统计特性？使用Hurst指数便是其中一种办法。
在标准金融学模型中，我们基本都假定股票的波动是随机独立的。一个随机独立的波动率对应的股票变动如下图所示：
但是实际上，真实的股票数据并非这样——股票的低迷往往会持续很长的时间，而突然的增长则是远超过平均收益的暴涨。
直观上的原因在于，看上去随机的收益率并不是那么的随机——它们具有一些自相关性。例如，在大部分股票市场，当前收益率持续较高的时候，之后的收益率也更可能高（牛市往往持续一段时间），当前收益率低时，之后的收益率也低（熊市往往也会持续很长时间）。
听起来有点像动量效应，其实吧，我们得再次声明下，任何CTA类策略，要么就是抓趋势（偏动量）的，要么就是抓震荡（偏均值回归）的。
自相关性的应用其实起源于其他场景。Hurst指数就可以刻画这一统计性质。Hurst指数的来源就是Hurst本人在研究河流流量之后发现，干旱的时间愈久，就更可能出现持续的干旱；大洪水之后，也更可能出现大洪水。
我们可以像hurst本人刻画河流流量一样，将hurst指数用于刻画股票的记忆性，通过识别股票价格的波动趋势，买入更有可能持续上涨的股票，实现收益。
1.1 Hurst指数的计算
（上图是计算hurst指数的流程图，可配合以下文字一起咀嚼）
简单来讲，hurst指数的计算，是计算一个序列(R/S)t(R/S)t
(R/S)t
(R/S)t
(R/S)_t
（接下来会具体介绍(R/S)t(R/S)t(R/S)t(R/S)t
(R/S)_t
的计算方法）对t的变化斜率。
如上图所示，如果我们有一系列（t，(R/S)t(R/S)t(R/S)t(R/S)t
(R/S)_t
）的数据，那么回归得到的红线的斜率就是hurst指数的值。
而这里的t就是选择的样本区间的长度（例如选择了八十天的数据，那么t=80），接下来的关键就是计算(R/S)t(R/S)t(R/S)t(R/S)t
(R/S)_t
值。
取沪深300日回报率(daily return)n天内的数据作为时间序列，记回报率X=X1,X2X3,…,XnX=X1,X2X3,…,XnX=X1,X2X3,…,XnX=X1,X2X3,…,Xn
X=X_1,X_2 X_3,…,X_n
为一串时间序列。
第一步：计算这个序列的均值:
mt=1t∑i=1tXimt=1tt∑i=1Xi
mt=1t∑i=1tXi
m<em>t=1t∑</em>i=1tXi
mt=\frac{1}{t} \sum{i=1}^t X_i
第二步：计算离差序列(deviation):
Yt=Xt?mtYt=Xt?mt
Yt=Xt?mt
Yt=Xt?mt
Y_t=X_t-m_t
第三步：将离差序列求和，计算出离差序列和的极差(widest difference)：
Zn=∑ni=1YiZn=∑ni=1Yi
Zn=∑i=1nYi
Z<em>n=∑</em>i=1nY<em>i
Zn=\sum{i=1}^n Yi
Rt=max(Z1,Z2,…,Zn)?min(Z1,Z2,…,Zn)Rt=max(Z1,Z2,…,Zn)?min(Z1,Z2,…,Zn)Rt=max?(Z1,Z2,…,Zn)?min?(Z1,Z2,…,Zn)Rt=max(Z1,Z2,…,Zn)?min(Z1,Z2,…,Zn)
R_t=\max?{(Z_1,Z_2,…,Z_n)} -\min?{(Z_1,Z_2,…,Z_n)}
Y=离差序列Y=离差序列Y=离差序列Y=离差序列
Y = 离差序列
Z=离差序列和Z=离差序列和Z=离差序列和Z=离差序列和
Z = 离差序列和
R=离差序列和的极差R=离差序列和的极差R=离差序列和的极差R=离差序列和的极差
R = 离差序列和的极差
第四步：计算序列X的标准差(standard deviation):
St=1t?1∑i=1t(Xi?X????)2?????????????????St=√1t?1t∑i=1(Xi??X)2
St=1t?1∑i=1t(Xi?X?)2
St=√1t?1∑</em>i=1t(Xi??X)2
S_t=\sqrt{\frac{1}{t-1}\sum{i=1}^t (X_i-\overline{X})^2}
第五步：计算R/S值：
(R/S)t=Rt/St(R/S)t=Rt/St
(R/S)t=Rt/St
(R/S)t=Rt/St
(R/S)_t=R_t/S_t
R=第3步中计算的离差序列和的极差R=第3步中计算的离差序列和的极差
R=第3步中计算的离差序列和的极差
R=第3步中计算的离差序列和的极差
R = 第3步中计算的离差序列和的极差
S=第4步中计算的标准差S=第4步中计算的标准差
S=第4步中计算的标准差
S=第4步中计算的标准差
S = 第4步中计算的标准差
根据上面1-5步的计算，我们得到了一个序列X=X1,X2,X3,…,XnX=X1,X2,X3,…,Xn
X=X1,X2,X3,…,Xn
X=X1,X2,X3,…,Xn
X=X_1,X_2 ,X_3,…,X_n
对应的R/S，因为这个序列样本有n个，因此R/S可以写作(R/S)n(R/S)n
(R/S)n
(R/S)n
(R/S)_n
如前所述，我们需要计算一系列的（t，(R/S)t(R/S)t
(R/S)t
(R/S)t
(R/S)_t
），因此我们需要重复上面的步骤——
第六步：重复1-5步计算R/S，但分别取不一样的t值（t=2,3,…,n），这相当于我们对序列：
X1,X2X1,X2
X1,X2
X1,X2
X_1,X_2
X1,X2,X3X1,X2,X3
X1,X2,X3
X1,X2,X3
X_1,X_2 ,X_3
X1,X2,X3,X4X1,X2,X3,X4
X1,X2,X3,X4
X1,X2,X3,X4
X_1,X_2 ,X_3 ,X_4
……
…
…
…
X1,X2,X3,X4,…,XnX1,X2,X3,X4,…,Xn
X1,X2,X3,X4,…,Xn
X1,X2,X3,X4,…,Xn
X_1,X_2 ,X_3 ,X_4,…,X_n
分别计算按照上述分段方法得到的(R/S)t(R/S)t
(R/S)t
(R/S)t
(R/S)_t
值。
第七步：计算Hurst指数
a. 将每种分段方法的片段大小（即所取得时间区间t）和R/S对10取对数
b. 这样我们就有了对数序列。将lg(R/S)tlg(R/S)t
lg(R/S)t
lg(R/S)t
lg(R/S)_t
作为被解释变量Y，lgt作为解释变量X，线性回归估计斜率H，H就是Hurst指数。
对Hurst指数的直观解释是：当所选取的样本越多，样本的变化也就越丰富，因此离差序列和的极差（以下简称极差）也会越大。如果序列有相关性时，序列长期向着一个方向变化，计算所得的极差就会比完全随机的情形更大，因此当极差随样本增加增长得越快时，序列的记忆性就越强。而hurst就是描述样本规模和R/S的上述关系，当hurst指数大的时候，其记忆性自然也就越强。
（我们这个是level0的理解深度，未来的量化课堂文章会讲原理）
1.2 Hurst指数的性质
Hurst指数体现了时间序列的自相关性，尤其反映了序列中隐藏的长期趋势，统计学上称为长期记忆(long-term memory)。Hurst指数居于0-1之间。以0.5为间隔，时间序列在不同的区间会表现不同的特性：
H=0.5：标准布朗运动。此时，序列为随机游走，表现马尔可夫链特性。
H≠0.5：分形布朗运动，这种运动不是完全随机的，具有长期相关性——
当H>0.5时，表现为持续性（即持续之前序列的性质）；
当H<0.5时，表现为反持续性。
1.3 Hurst指数的应用
思路：根据收益率变化趋势与hurst指数，判断应该买入还是卖出——
如果过去收益率增加并且序列有正相关性，买入股票；
如果过去收益率降低并且序列有正相关性，卖出股票；
如果过去收益率降低并且序列有负相关性，买入股票；
如果过去收益率增加并且序列有负相关性，卖出股票；
具体而言，在我们的策略中，采用hurst指数来衡量序列相关性。当hurst>0.6时，认为序列有趋势性，当hurst<0.4时，认为hurst有负相关性；
而对于判断过去收益增加还是减少，一种办法是直接用当前收盘价和前N日收盘价比较，如果当日收盘价高，则认为收益增加。但是在我们的设定中，这种办法的缺陷是这实际上只能判断收益增加，但是不能判断收益率的变化，因此在本文的策略中，采用的是N日收益率对时间回归。如果回归所得的斜率为正，则认为在过去N日中收益率是增长的趋势（注意：是收益率向上，而不是股票走势向上哦！）；如果回归所得的斜率为负，则认为在过去N日中收益率是减少的趋势。
注：在应用中，我们取N=59（收盘价数据取N=60天的数据）。
根据回测结果，可以看出hurst的择时在应对大跌时效果较好，但因为要保证收益率是持续增长，往往在大牛市中会提前空仓，但一整个牛熊市下来，收益率远高于大盘。
